方程：從分析問題的數(shù)量關(guān)系入手，通過設(shè)定未知數(shù)，把問題中的已知量與未知數(shù)的數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)化為方程或方程組等數(shù)學(xué)模型，然后利用方程的理論或方法，使問題得到解決。

 

　　不定方程：未知數(shù)個數(shù)等于方程個數(shù)的方程成為普通方程，未知數(shù)個數(shù)多余方程個數(shù)的方程稱為不定方程。

 

 

　　1.帶入排除法

 

　　這種方法為解不定方程中最簡單的方法，直接將選項代入題目，看哪個選項滿足題目的要求即可。

 

　　【例】有若干張卡片，其中一部分寫著1.1，另一部分寫著1.11，它們的和恰好是43.21。寫有1.1和1.11的卡片各有多少張?

 

　　A.8張，31張 B.28張，11張

 

　　C.35張，11張 D.41張，1張

 

　　答案：A。解析：設(shè)寫有1.1的卡片x張，1.11的卡片y張，1.1x+1.11y=43.21，代入A，1.1*8+1.11*31=43.21，符合題意。故選A。

 

　　2.整除

 

　　有些不定方程不能用帶入排除法，則可以選擇用整除來解題。即利用不定方程中各數(shù)除以同一個除數(shù)所得余數(shù)的關(guān)系來求解。

 

　　如2X+3Y=21的自然數(shù)解。我們注意到，21除以3余0，3Y除以3肯定也余0，那么2X也應(yīng)是除以3余0，這樣X只能取3的倍數(shù)了，如：0、3、6等。

 

　　【例】某公司的6名員工一起去用餐，他們各自購買了三種不同食品中的一種，且每人只購買了一份。一直蓋飯15元一份，水餃7元一份，面條9元一份，他們一共花費(fèi)了60元。問他們中最多有幾人買了水餃?

 

　　A.1 B.2 C.3 D.4

 

　　答案：C。解析：設(shè)買蓋飯，水餃和面條的人數(shù)分別是x、y和z，則依題意可得15x+7y+9z=60。15x，9z，60都能被3整除，所以7x必能被3整除，故x能被3整除，選C。

 

　　3.奇偶性

 

　　采用最多的解不定方程的方法就是奇偶性。

 

　　如不定方程5x+4y=59，59是一個奇數(shù)，4y一定是一個偶數(shù)，那么，5x就一定是個奇數(shù)，則x取值只能取奇數(shù)，如1、3、5…等。

 

　　【例】某兒童藝術(shù)培訓(xùn)中心有5名鋼琴教師和6名拉丁舞教師，培訓(xùn)中心將所有的鋼琴學(xué)員和拉丁舞學(xué)員共76人分別平均分給各個老師帶領(lǐng)，剛好能夠分完，且每位老師所帶領(lǐng)的學(xué)生數(shù)量都是質(zhì)數(shù)。后來由于學(xué)生人數(shù)減少，培訓(xùn)中心只保留了4名鋼琴教師和3名拉丁舞教師，但每名教師所帶的學(xué)生數(shù)量不變，哪兒目前培訓(xùn)中心還剩下學(xué)員多少人?

 

　　A.36 B.37 C.39 D.41

 

　　答案：D。解析：此題初看無處入手，條件僅僅有每位教師所帶學(xué)生數(shù)量為質(zhì)數(shù)，條件較少，無法直接利用數(shù)量關(guān)系來推斷，需利用方程法。設(shè)每位鋼琴教師帶x名學(xué)生，每位拉丁舞教師帶y名學(xué)生，則x、y為質(zhì)數(shù)，且5x+6y=76。對于這個不定方程，需要從整除特性、奇偶性或質(zhì)合性來解題。很明顯，6y是偶數(shù)，76是偶數(shù)，則5x為偶數(shù)，所以x為偶數(shù)。然而x又為質(zhì)數(shù)，根據(jù)“2是唯一的偶質(zhì)數(shù)”可知，x=2，代入原式得y=11。

 

　　現(xiàn)有4名鋼琴教師和3名拉丁舞教師，則剩下學(xué)員4*2+3*11=41人。因此選擇D。

 

　　4.尾數(shù)法

 

　　如果以上三種方法都不能解決的不定方程，則采用尾數(shù)法。一般情況是有0或5結(jié)尾的數(shù)，想到尾數(shù)法。

 

　　如不定方程5x+4y=59的自然數(shù)解。和的個位數(shù)是9，說明5x的個位數(shù)字一定是5，那么x一定取奇數(shù);4y的個位數(shù)字一定是4，那么y只能是1、4、6結(jié)尾。

 

　　【例】現(xiàn)有149個同樣大小的蘋果往大、小兩個袋子中裝，已知大袋每袋裝17個蘋果，小袋每袋裝10個蘋果。每個袋子都必須裝滿，則需要大袋子的個數(shù)是?

 

　　A.5 B.6 C.7 D.8

 

　　答案：C。解析：設(shè)需要大袋子x個，小袋子y個，得到17x+10y=149，由于小袋子每袋裝10個蘋果，所以無論有多少個小袋子，所能轉(zhuǎn)的蘋果數(shù)的尾數(shù)永遠(yuǎn)為0，即10y的尾數(shù)為0;而大袋每袋裝17個蘋果，17x的尾數(shù)為9，所以x的尾數(shù)為7，選C。

 

 

　　【真題1】有271位游客欲乘大、小兩種客車旅游，已知大客車有37個座位，小客車有20個座位。為保證每位游客均有座位，且車上沒有空座位，則需要大客車的輛數(shù)是()。

 

　　A.1輛 B.3輛 C.2輛 D.4輛

 

　　答案：B。解析：設(shè)需要大客車的輛數(shù)為x，小客車的輛數(shù)為y，則有37x+20y=271。由于271是奇數(shù)，20y肯定是偶數(shù)，則37x一定為奇數(shù)，所以x取奇數(shù)，排除C、D;若x取1，退出y不為整數(shù)，不滿足條件，故選B。

 

　　【真題2】：甲乙兩種筆的單價分別為7元、3元。某小學(xué)用60元錢買這兩種比作為學(xué)科競賽一、二等獎獎品，錢恰好用完，則這兩種筆最多可買的支數(shù)是：

 

　　A.12 B.13 C.16 D.18

 

　　答案：C。解析：設(shè)可買甲乙兩種筆分別為x、y支，則有7x+3y=60。由于3y與60都是3的倍數(shù)，則7x一定為3的倍數(shù)。當(dāng)x=3時，y=13;當(dāng)x=6時，y=6;所以x+y的最大值為3+13=16，故選C。